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Algebra elementare

L’algebra elementare , conosciuta anche come algebra universitaria , comprende i concetti di base dell’algebra. Viene spesso contrapposta all’aritmetica: l’aritmetica si occupa di numeri specifici, mentre l’algebra introduce le variabili.

Dimostrazioni con l’addizione di numeri naturali

Questo articolo contiene prove matematiche per alcune proprietà dell’addizione dei numeri naturali: identità additiva, commutatività e associatività. Queste dimostrazioni sono utilizzate nell’articolo Addizione di numeri naturali.

Identità additiva

In matematica, l’ identità additiva di un insieme dotato dell’operazione di addizione è un elemento che, sommato a qualsiasi elemento $x$ dell’insieme, dà $x$ . Una delle identità additive più familiari è il numero 0 della matematica elementare, ma le identità additive si verificano in altre strutture matematiche in cui è definita l’addizione, come nei gruppi e negli anelli.

Inverso additivo

In matematica, l’ inverso additivo di un numero $a$ è il numero che, sommato ad $a$ , dà come risultato zero. L’operazione che porta un numero al suo inverso additivo è detta cambio di segno o negazione . Per un numero reale, inverte il segno: l’inverso additivo di un numero positivo è negativo e l’inverso additivo di un numero negativo è positivo. Lo zero è l’inverso additivo di se stesso.

Espressione algebrica

In matematica, un’espressione algebrica è un’espressione costruita da numeri algebrici costanti, variabili e operazioni algebriche. Ad esempio, $3 x 2 - 2 xy + c$ è un’espressione algebrica. Dato che ricavare la radice quadrata equivale ad elevare alla potenza 1/2 , anche la seguente è un’espressione algebrica:

\text{[math]}

Frazione algebrica

In algebra, una frazione algebrica è una frazione il cui numeratore e denominatore sono espressioni algebriche. Due esempi di frazioni algebriche sono $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ . Le frazioni algebriche sono soggette alle stesse leggi delle frazioni aritmetiche.

Operazione algebrica

In matematica, un’operazione algebrica di base è una qualsiasi delle operazioni comuni dell’algebra elementare, che includono addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza di un numero intero e messa delle radici. Queste operazioni possono essere eseguite sui numeri, nel qual caso vengono spesso chiamate operazioni aritmetiche . Possono essere eseguiti, in modo analogo, anche su variabili, espressioni algebriche e, più in generale, su elementi di strutture algebriche, come gruppi e campi. Un’operazione algebrica può anche essere definita semplicemente come una funzione da una potenza cartesiana di un insieme allo stesso insieme.

Proprietà associativa

In matematica, la proprietà associativa è una proprietà di alcune operazioni binarie, il che significa che la riorganizzazione delle parentesi in un’espressione non modificherà il risultato. Nella logica proposizionale, l’associatività è una regola valida di sostituzione delle espressioni nelle dimostrazioni logiche.

Annullamento

La cancellazione è un processo matematico utilizzato per rimuovere sottoespressioni da un’espressione matematica, quando questa rimozione non cambia il significato o il valore dell’espressione perché le sottoespressioni hanno effetti uguali e opposti. Ad esempio, una frazione viene espressa ai minimi termini annullando i fattori comuni del numeratore e del denominatore. Come altro esempio, se a × b = a × c , allora il termine moltiplicativo a può essere cancellato se a ≠0, risultando nell’espressione equivalente b = c ; questo equivale a dividere per a .

Cerchio di Carlyle

In matematica, un cerchio di Carlyle è un certo cerchio in un piano di coordinate associato a un’equazione quadratica; prende il nome da Thomas Carlyle. Il cerchio ha la proprietà che le soluzioni dell’equazione quadratica sono le coordinate orizzontali delle intersezioni del cerchio con l’asse orizzontale. I cerchi di Carlyle sono stati utilizzati per sviluppare costruzioni con riga e compasso di poligoni regolari.

Cambio di variabili

In matematica, il cambio di variabili è una tecnica di base utilizzata per semplificare i problemi in cui le variabili originali vengono sostituite con funzioni di altre variabili. L’intento è che, quando espresso in nuove variabili, il problema possa diventare più semplice o equivalente a un problema meglio compreso.

Denominatori chiari

In matematica, il metodo di compensazione dei denominatori , chiamato anche compensazione delle frazioni , è una tecnica per semplificare un’equazione che equipara due espressioni ciascuna delle quali è una somma di espressioni razionali, che include frazioni semplici.

Proprietà commutativa

In matematica, un’operazione binaria è commutativa se cambiando l’ordine degli operandi non cambia il risultato. È una proprietà fondamentale di molte operazioni binarie e da essa dipendono molte dimostrazioni matematiche. Forse più familiare come proprietà dell’aritmetica, ad esempio “3 + 4 = 4 + 3” o “2 × 5 = 5 × 2” , la proprietà può essere utilizzata anche in

Completamento del quadrato

Nell’algebra elementare, il completamento del quadrato è una tecnica per convertire un polinomio quadratico della forma…

Coniugato (radici quadrate)

In matematica viene fornito il coniugato di un’espressione della forma che non compare in $a$ e $b$ . Si dice anche che le due espressioni sono coniugate. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Termine costante

In matematica, un termine costante è un termine di un’espressione algebrica che non contiene variabili e quindi è costante. Ad esempio, nel polinomio quadratico,

\text{[math]}

Radice cubica

In matematica, una radice cubica di un numero $x$ è un numero $y$ tale che $y 3 = x$ . Tutti i numeri reali diversi da zero hanno esattamente una radice cubica reale e una coppia di radici cubiche complesse coniugate, e tutti i numeri complessi diversi da zero hanno tre radici cubiche complesse distinte. Ad esempio, la radice cubica reale di $8$ , indicata con $\text{[math]}$ , è $2$ , perché $23 = 8$ , mentre le altre radici cubiche di $8$ sono $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ . Le tre radici cubiche di $-27 i$ sono:

\text{[math]}

Equazione cubica

In algebra, un’equazione cubica in una variabile è un’equazione della forma

\text{[math]}

Proprietà distributiva

In matematica, la proprietà distributiva delle operazioni binarie è una generalizzazione della legge distributiva , la quale asserisce che l’uguaglianza…

Coefficienti di uguaglianza

In matematica, il metodo di equazione dei coefficienti è un modo per risolvere un’equazione funzionale di due espressioni come i polinomi per un numero di parametri sconosciuti. Si basa sul fatto che due espressioni sono identiche proprio quando i coefficienti corrispondenti sono uguali per ogni diverso tipo di termine. Il metodo viene utilizzato per portare le formule nella forma desiderata.

Equazione

In matematica un’equazione è una formula matematica che esprime l’uguaglianza di due espressioni, collegandole con il segno di uguale = . La parola equazione e i suoi affini in altre lingue possono avere significati leggermente diversi; ad esempio, in francese un’equazione è definita come contenente una o più variabili, mentre in inglese qualsiasi formula ben formata composta da due espressioni legate da un segno di uguale è un’equazione.

Espressione (matematica)

In matematica, un’espressione o espressione matematica è una combinazione finita di simboli ben formata secondo regole che dipendono dal contesto. I simboli matematici possono designare numeri (costanti), variabili, operazioni, funzioni, parentesi, punteggiatura e raggruppamenti per aiutare a determinare l’ordine delle operazioni e altri aspetti della sintassi logica.

Soluzioni estranee e mancanti

In matematica, una soluzione estranea è quella che emerge dal processo di risoluzione di un problema ma non ne costituisce una soluzione valida. Una soluzione mancante è una soluzione valida che viene persa durante il processo di soluzione. Entrambe le situazioni risultano spesso dall’esecuzione di operazioni non invertibili per alcuni o tutti i valori delle variabili coinvolte, il che impedisce alla catena di implicazioni logiche di essere bidirezionale.

Fattorizzazione

In matematica, la fattorizzazione (o fattorizzazione , vedere differenze di ortografia in inglese) o la fattorizzazione consiste nello scrivere un numero o un altro oggetto matematico come prodotto di diversi fattori , solitamente oggetti più piccoli o più semplici dello stesso tipo. Ad esempio, $3 \times 5$ è una fattorizzazione intera di $15$ e $(x - 2)(x + 2)$ è una fattorizzazione…

Metodo FOIL

Nell’algebra elementare, FOIL è un mnemonico per il metodo standard di moltiplicazione di due binomi, quindi il metodo può essere definito metodo FOIL . La parola FOIL è l’acronimo dei quattro termini del prodotto:

Primo
Esterno

Formula

Nella scienza, una formula è un modo conciso di esprimere simbolicamente le informazioni, come in una formula matematica o chimica . L’uso informale del termine formula in ambito scientifico si riferisce al costrutto generale di una relazione tra quantità date.

Identità (matematica)

In matematica, un’identità è un’uguaglianza che mette in relazione un’espressione matematica A con un’altra espressione matematica B , in modo tale che A e B producano lo stesso valore per tutti i valori delle variabili entro un certo intervallo di validità. In altre parole, A = B è un’identità se A e B definiscono le

Disuguaglianza (matematica)

In matematica, una disuguaglianza è una relazione che rende un confronto non uguale tra due numeri o altre espressioni matematiche. Viene utilizzato più spesso per confrontare due numeri sulla linea numerica in base alla loro dimensione. I principali tipi di disuguaglianza sono inferiori e superiori a.

Disequazione

In matematica, una disequazione è un’affermazione che esiste una disuguaglianza tra due valori. Di solito è scritto sotto forma di una coppia di espressioni che denotano i valori in questione, con un segno relazionale tra loro che indica la specifica relazione di disuguaglianza. Alcuni esempi di disequazioni sono:

Test di associatività della luce

In matematica, il test di associatività di Light è una procedura inventata da FW Light per verificare se un’operazione binaria definita in un insieme finito da una tavola pitagorica di Cayley è associativa. L’ingenua procedura per verificare l’associatività di un’operazione binaria specificata da una tabella di Cayley, che confronta i due prodotti che si possono formare da ciascuna terna di elementi, è macchinosa. Il test di associatività di Light semplifica il compito in alcuni casi.

Equazione lineare

In matematica, un’equazione lineare è un’equazione che può essere messa nella forma $\text{[math]}$ in cui $\text{[math]}$ sono le variabili e $\text{[math]}$ sono i coefficienti, che spesso sono numeri reali. I coefficienti possono essere considerati parametri dell’equazione e possono essere espressioni arbitrarie, purché non contengano nessuna variabile. Per ottenere un’equazione significativa, $\text{[math]}$ è necessario che i coefficienti non siano tutti zero.

Linearità

In matematica, il termine lineare è usato in due sensi distinti per due diverse proprietà:

linearità di una funzione ;
linearità di un polinomio .

Inverso moltiplicativo

In matematica, un moltiplicativo inverso o reciproco per un numero x , indicato con 1/ x o x ⁻¹ , è un numero che quando moltiplicato per x produce l’identità moltiplicativa, 1. L’inverso moltiplicativo di una frazione a / b è b / UN . Per l’inverso moltiplicativo di un numero reale, dividi 1 per il numero. Ad esempio, il reciproco di 5 è un quinto (1/5 o

Ennesima radice

In matematica, prendere la radice n- esima è un’operazione che coinvolge due numeri, il radicando e l’ indice o grado . Prendendo la radice n-esima si scrive come $\text{[math]}$ , dove $x$ è il radicando e n è l’indice. Questa è pronunciata come “l’ennesima radice di x”. La definizione quindi di una radice n- esima di un numero x è un numero r che, quando elevato alla potenza dell’intero positivo n , restituisce x :

Parallelo (operatore)

L’ operatore parallelo $\text{[math]}$ è una funzione matematica utilizzata come abbreviazione in ingegneria elettrica, ma viene utilizzata anche in cinetica, meccanica dei fluidi e matematica finanziaria. Il nome parallelo deriva dall’uso dell’operatore che calcola la resistenza combinata dei resistori in parallelo.

Funzione genitore

In matematica, una funzione genitore è la rappresentazione principale di un tipo di funzione senza manipolazioni come traslazione e dilatazione. Ad esempio, per la famiglia delle funzioni quadratiche aventi la forma generale

\text{[math]}

Decomposizione parziale della frazione

In algebra, la scomposizione parziale della frazione o l’espansione parziale della frazione di una frazione razionale è un’operazione che consiste nell’esprimere la frazione come somma di un polinomio e di una o più frazioni con denominatore più semplice.

Equazione quadrata

In matematica, un’equazione quadratica è un’equazione che può essere riorganizzata in forma standard come…

Formula quadratica

Nell’algebra elementare, la formula quadratica è un’espressione in forma chiusa che descrive le soluzioni di un’equazione quadratica. Altri modi per risolvere equazioni quadratiche, come il completamento del quadrato, producono le stesse soluzioni.

Equazione quartica

In matematica, un’equazione quartica è un’equazione che può essere espressa come una funzione quartica uguale a zero. La forma generale di un’equazione quartica è

Funzione quartica

In algebra, una funzione quartica è una funzione della forma

\text{[math]}

^α

Razionalizzazione (matematica)

Nell’algebra elementare, la razionalizzazione delle radici è un processo mediante il quale vengono eliminati i radicali nel denominatore di una frazione algebrica.

Ridimensionamento e spostamento

Risoluzione di equazioni quadratiche con frazioni continue

In matematica, un’equazione quadratica è un’equazione polinomiale di secondo grado. La forma generale è

\text{[math]}

Relazione transitiva

In matematica, una relazione binaria $R$ su un insieme $X$ è transitiva se, per tutti gli elementi $a$ , $b$ , $c$ in $X$ , ogni volta che $R$ mette in relazione $a$ con $b$ e $b$ con $c$ , allora $R$ mette in relazione anche $a$ con $c$ .

Trinomio

Nell’algebra elementare, un trinomio è un polinomio costituito da tre termini o monomi.

Algebra booleana a due elementi

In matematica e algebra astratta, l’ algebra booleana a due elementi è l’algebra booleana il cui insieme sottostante B è il dominio booleano. Gli elementi del dominio booleano sono 1 e 0 per convenzione, quindi B = {0, 1}. Il nome dato da Paul Halmos per questa algebra ” 2 ” ha qualche seguito in letteratura e verrà utilizzato qui.

Operazione unaria

In matematica, un’operazione unaria è un’operazione con un solo operando, cioè un singolo input. Ciò è in contrasto con le operazioni binarie, che utilizzano due operandi. Un esempio è una qualsiasi funzione $f : A \to A$ , dove $A$ è un insieme. La funzione $f$ è un’operazione unaria su $A$ .

Algebra elementare

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