Algebra
Algebra
L’algebra è la branca della matematica che studia le strutture algebriche e la manipolazione delle affermazioni all’interno di tali strutture. È una generalizzazione dell’aritmetica che introduce variabili e operazioni algebriche diverse dalle operazioni aritmetiche standard come addizione e moltiplicazione…
Cenni di algebra
Il seguente schema viene fornito come panoramica e guida d’attualità all’algebra:…
Cronologia della geometria
Quella che segue è una cronologia degli sviluppi chiave della geometria:…
Storia dell’algebra
L’algebra può essenzialmente essere considerata come l’esecuzione di calcoli simili a quelli dell’aritmetica ma con oggetti matematici non numerici. Tuttavia, fino al XIX secolo, l’algebra consisteva essenzialmente nella teoria delle equazioni. Ad esempio, il teorema fondamentale dell’algebra appartiene alla teoria delle equazioni e non è, oggigiorno, considerato appartenente all’algebra…
Equazione alle differenze razionali
Un’equazione alle differenze razionali è un’equazione alle differenze non lineari della forma
Elenco delle costruzioni algebriche
Una costruzione algebrica è un metodo mediante il quale un’entità algebrica viene definita o derivata da un’altra…
Elaborazione algebrica dei segnali
L’elaborazione algebrica del segnale (ASP) è un’area emergente dell’elaborazione teorica del segnale (SP). Nella teoria algebrica dell’elaborazione dei segnali, un insieme di filtri viene trattato come un’algebra (astratta), un insieme di segnali viene trattato come un modulo o spazio vettoriale e la convoluzione viene trattata come una rappresentazione algebrica. Il vantaggio dell’elaborazione algebrica del segnale è la sua generalità e portabilità…
Premio di ricerca AWM-Microsoft in algebra e teoria dei numeri
L’ AWM-Microsoft Research Prize in Algebra e Teoria dei numeri è un premio assegnato ogni due anni dall’Associazione per le donne in matematica a una giovane ricercatrice eccezionale in algebra o teoria dei numeri. È stato finanziato nel 2012 da Microsoft Research e pubblicato per la prima volta nel 2014…
Algoritmo di Berlekamp-Rabin
Nella teoria dei numeri, l’algoritmo per la ricerca delle radici di Berlekamp , chiamato anche algoritmo Berlekamp-Rabin , è il metodo probabilistico per trovare le radici dei polinomi nel campo con elementi. Il metodo è stato scoperto da Elwyn Berlekamp nel 1970 come ausiliario dell’algoritmo per la fattorizzazione polinomiale su campi finiti. L’algoritmo fu successivamente modificato da Rabin per campi finiti arbitrari nel 1979. Il metodo fu scoperto anche indipendentemente prima di Berlekamp da altri ricercatori…
Puzzle da tavolo con algebra delle variabili binarie
I puzzle da tavolo con l’algebra delle variabili binarie chiedono ai giocatori di individuare gli oggetti nascosti in base a una serie di celle indizio e ai loro vicini contrassegnati come variabili (incognite). Una variabile con valore 1 corrisponde a una cella con un oggetto. Al contrario, una variabile con valore 0 corrisponde a una cella vuota, senza oggetto nascosto…
Algebra di Bose-Mesner
In matematica, un’algebra di Bose-Mesner è un insieme speciale di matrici che nascono da una struttura combinatoria nota come schema di associazione, insieme al consueto insieme di regole per combinare tali matrici, in modo tale da formare un’algebra associativa, o, più precisamente , un’algebra commutativa unitaria. Tra queste regole ci sono:..
Forma canonica
In matematica e informatica, una forma canonica , normale o standard di un oggetto matematico è un modo standard di presentare quell’oggetto come espressione matematica. Spesso è quello che fornisce la rappresentazione più semplice di un oggetto e ne consente l’identificazione in modo univoco. La distinzione tra forme “canoniche” e “normali” varia da sottocampo a sottoca…
Casus irriducibili
In algebra, il casus irriducibilis è uno dei casi che possono presentarsi risolvendo algebricamente polinomi di grado 3 o superiore a coefficienti interi, cioè ottenendo radici espresse con radicali. Mostra che molti numeri algebrici hanno valori reali ma non possono essere espressi in radicali senza introdurre numeri complessi. L’occorrenza più notevole di casus irriducibilis è nel caso di polinomi cubici che hanno tre radici reali, come dimostrato da Pierre Wantzel nel 1843. Si può vedere se un dato polinomio cubico è nel cosiddetto casus irriducibilis osservando il discriminante, tramite la formula di Cardano…
Espressione in forma chiusa
In matematica, un’espressione è in forma chiusa se è formata da costanti, variabili e un insieme finito di funzioni di base collegate da operazioni aritmetiche e composizione di funzioni. Comunemente, le funzioni consentite sono la radice n- esima , la funzione esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Tuttavia, l’insieme delle funzioni di base dipende dal contesto…
Coefficiente
In matematica, un coefficiente è un fattore moltiplicativo coinvolto in qualche termine di un polinomio, una serie o un’espressione. Può essere un numero (adimensionale), nel qual caso è noto come fattore numerico . Può anche essere una costante con unità di misura, per cui è nota come moltiplicatore costante . In generale, i coefficienti possono essere qualsiasi espressione. Quando la combinazione di variabili e costanti non è necessariamente coinvolta in un prodotto, può essere chiamata parametro…
Premio Cole
Il Frank Nelson Cole Prize , o Cole Prize in breve, è uno dei ventidue premi assegnati ai matematici dall’American Mathematical Society, uno per un eccezionale contributo all’algebra e l’altro per un eccezionale contributo alla teoria dei numeri. Il premio prende il nome da Frank Nelson Cole, che ha servito la Società per 25 anni. Il Premio Cole in algebra è stato finanziato dallo stesso Cole, con i fondi che gli erano stati dati come regalo di pensionamento; il montepremi è stato successivamente aumentato dal figlio, determinando il doppio premio…
Modulo di conservazione
La forma di conservazione o forma euleriana si riferisce a una disposizione di un’equazione o di un sistema di equazioni, che di solito rappresenta un sistema iperbolico, che sottolinea che una proprietà rappresentata è conservata, cioè un tipo di equazione di continuità. Il termine è solitamente usato nel contesto della meccanica del continuo…
Equazioni coerenti e inconsistenti
In matematica e in particolare in algebra, un sistema di equazioni è detto coerente se esiste almeno un insieme di valori per le incognite che soddisfa ciascuna equazione nel sistema, ovvero, quando sostituiti in ciascuna delle equazioni, fanno valere ciascuna equazione. vero come identità. Al contrario, un sistema di equazioni lineari o non lineari è detto incoerente se non esiste un insieme di valori per le incognite che soddisfi tutte le equazioni…
Costante (matematica)
In matematica, la parola costante trasmette molteplici significati. Come aggettivo si riferisce alla non-varianza; come sostantivo, ha due significati diversi:
- Un numero fisso e ben definito o un altro oggetto matematico immutabile. I termini costante matematica o costante fisica vengono talvolta utilizzati per distinguere questo significato
Polinomio ciclotomico
In matematica, l’ n- esimo polinomio ciclotomico , per ogni intero positivo n , è l’unico polinomio irriducibile a coefficienti interi che è divisore e non è divisore di per ogni k < n . Le sue radici sono tutte radici primitive n- esime dell’unità , dove k si estende sugli interi positivi non maggiori di n e coprimi con n . In altre parole, l’ n- esimo polinomio ciclotomico è uguale a
Radice digital
La radice digitale di un numero naturale in una data radice è il valore ottenuto da un processo iterativo di somma delle cifre , ad ogni iterazione utilizzando il risultato dell’iterazione precedente per calcolare una somma di cifre. Il processo continua finché non viene raggiunto un numero a una cifra. Ad esempio, in base 10, la radice digitale del numero 12345 è 6 perché la somma delle cifre del numero è 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, quindi il processo di addizione viene ripetuto nuovamente per il numero risultante 15 , in modo che la somma di 1 + 5 sia uguale a 6, che è la radice digitale di quel numero. In base 10, ciò equivale a prendere il resto della divisione per 9, il che consente di utilizzarlo come regola di divisibilità…
Algebra elementare
L’algebra elementare , conosciuta anche come algebra universitaria , comprende i concetti di base dell’algebra. Viene spesso contrapposta all’aritmetica: l’aritmetica si occupa di numeri specifici, mentre l’algebra introduce le variabili…
Classe di equivalenza
In matematica, quando gli elementi di un insieme hanno una nozione di equivalenza, allora si può naturalmente dividere l’insieme in classi di equivalenza . Queste classi di equivalenza sono costruite in modo che gli elementi e appartengano alla stessa classe di equivalenza se, e solo se, sono equivalenti…
La funzione totiente di Eulero
Nella teoria dei numeri, la funzione totient di Eulero conta gli interi positivi fino a un dato intero n che sono relativamente primi rispetto a n . Si scrive utilizzando la lettera greca phi come o , e può anche essere chiamata funzione phi di Eulero . In altre parole, è il numero di interi k nell’intervallo 1 ≤ k ≤ n per i quali il massimo comun divisore mcd( n , k ) è uguale a 1. G
Fattorizzazione di polinomi su campi finiti
In matematica e algebra informatica la fattorizzazione di un polinomio consiste nel scomporlo in un prodotto di fattori irriducibili. Questa scomposizione è teoricamente possibile ed è unica per polinomi a coefficienti in qualsiasi campo, ma sono necessarie restrizioni piuttosto forti sul campo dei coefficienti per consentire il calcolo della fattorizzazione mediante un algoritmo. In pratica, gli algoritmi sono stati progettati solo per polinomi a coefficienti in un campo finito, nel campo dei razionali o in un campo di estensione finitamente generato di uno di essi…
Progressione aritmetica generalizzata
In matematica, una progressione aritmetica generalizzata è una generalizzazione di una progressione aritmetica dotata di molteplici differenze comuni – mentre una progressione aritmetica è generata da una singola differenza comune, una progressione aritmetica generalizzata può essere generata da molteplici differenze comuni. Ad esempio, la sequenza non è una progressione aritmetica, ma viene invece generata iniziando con 17 e aggiungendo 3 o 5, consentendo così a molteplici differenze comuni di generarla. Un insieme semilineare generalizza questa idea a più dimensioni: è un insieme di vettori di numeri interi, piuttosto che un insieme di numeri interi…
Algebra dei grafici (scienze sociali)
L’algebra dei grafi è uno strumento di modellazione incentrato sui sistemi per le scienze sociali. È stato inizialmente sviluppato da Sprague, Pzeworski e Cortes come una versione ibrida di trame ingegneristiche per descrivere i fenomeni sociali…
Il metodo di Horner
In matematica e informatica, il metodo di Horner è un algoritmo per la valutazione polinomiale. Anche se prende il nome da William George Horner, questo metodo è molto più antico, poiché è stato attribuito a Joseph-Louis Lagrange dallo stesso Horner e può essere fatto risalire a molte centinaia di anni fa ai matematici cinesi e persiani. Dopo l’introduzione dei computer, questo algoritmo è diventato fondamentale per calcolare in modo efficiente con i polinomi…
Il problema dei cento uccelli
Il problema dei cento uccelli è un problema discusso per la prima volta nel testo di matematica cinese Zhang Qiujian suanjing del V secolo d.C. , un libro di problemi matematici scritto da Zhang Qiujian. È uno degli esempi più noti di problemi indeterminati nella storia antica della matematica. Il problema appare come il problema finale in Zhang Qiujian suanjing . Tuttavia, il problema e le sue varianti sono apparsi nella letteratura matematica medievale dell’India, dell’Europa e del mondo arabo…
Equazione indeterminata
In matematica, in particolare in algebra, un’equazione indeterminata è un’equazione per la quale esiste più di una soluzione. Ad esempio, l’equazione è una semplice equazione indeterminata, così come . Le equazioni indeterminate non possono essere risolte in modo univoco. Anzi, in alcuni casi potrebbe addirittura avere infinite soluzioni. Alcuni degli esempi importanti di equazioni indeterminate includono:..
Elemento inverso
In matematica, il concetto di elemento inverso generalizza i concetti di opposto e reciproco dei numeri…
Polinomio irriducibile
In matematica, un polinomio irriducibile è, grosso modo, un polinomio che non può essere scomposto nel prodotto di due polinomi non costanti. La proprietà di irriducibilità dipende dalla natura dei coefficienti accettati per i possibili fattori, cioè dall’anello a cui si suppone appartengano i coefficienti del polinomio e i suoi possibili fattori. Ad esempio, il polinomio x 2 − 2 è un polinomio a coefficienti interi, ma, poiché ogni intero è anche un numero reale, è anche un polinomio a coefficienti reali. È irriducibile se considerato come un polinomio a coefficienti interi, ma si fattorizza come se fosse considerato come un polinomio a coefficienti reali. Si dice che il polinomio x 2 − 2 è irriducibile sugli interi ma non sui reali…
Nocciolo (algebra)
In algebra, il nucleo di un omomorfismo è generalmente l’immagine inversa di 0. Un caso speciale importante è il nucleo di una mappa lineare. Il nucleo di una matrice, chiamato anche spazio nullo , è il nucleo della mappa lineare definita dalla matrice…
Leggi della forma
Laws of Form è un libro di G. Spencer-Brown, pubblicato nel 1969, che si trova a cavallo del confine tra matematica e filosofia. LoF descrive tre sistemi logici distinti:
-
- L ‘”aritmetica primaria”, i cui modelli includono l’aritmetica booleana;
- L'”algebra primaria”, i cui modelli includono l’algebra booleana a due elementi, la logica booleana e il calcolo proposizionale classico;
Termini simili
In matematica, i termini simili sono addendi in una somma che differiscono solo per un fattore numerico. Termini simili possono essere raggruppati aggiungendo i loro coefficienti. Tipicamente, in un’espressione polinomiale, i termini simili sono quelli che contengono le stesse variabili alle stesse potenze, possibilmente con coefficienti diversi…
Linearmente disgiunto
In matematica, le algebre A , B su un campo k all’interno di una qualche estensione di campo di k si dicono linearmente disgiunte su k se sono soddisfatte le seguenti condizioni equivalenti:
-
- (i) La mappa indotta da è iniettiva.
Algebra delle mappe
L’algebra della mappa è un’algebra per la manipolazione dei dati geografici, principalmente i campi. Sviluppato dalla dottoressa Dana Tomlin e altri alla fine degli anni ’70, è un insieme di operazioni primitive in un sistema di informazione geografica (GIS) che consente a uno o più livelli raster (“mappe”) di dimensioni simili di produrre un nuovo livello raster ( mappa) utilizzando operazioni matematiche o di altro tipo come addizione, sottrazione, ecc…
Fattorizzazione matriciale di un polinomio
In matematica, la fattorizzazione matriciale di un polinomio è una tecnica per fattorizzare polinomi irriducibili con matrici. David Eisenbud ha dimostrato che ogni polinomio p multivariato a valori reali senza termini lineari può essere scritto come a AB = pI , dove A e B sono matrici quadrate e I è la matrice identità. Dato il polinomio p , le matrici A e B possono essere trovate con metodi elementari…
Omomorfismo del modulo
In algebra, un omomorfismo di modulo è una funzione tra moduli che preserva le strutture dei moduli. Esplicitamente, se M e N sono moduli sinistri su un anello R , allora una funzione è chiamata omomorfismo di modulo R o mappa R – lineare se per qualsiasi x , y in M e r in R ,
Monomiale
In matematica, un monomio è, grosso modo, un polinomio che ha un solo termine. Si possono incontrare due definizioni di monomio:
- Un monomio, chiamato anche prodotto di potenza , è un prodotto di potenze di variabili con esponenti interi non negativi o, in altre parole, un pr
Base monomiale
In matematica la base monomiale di un anello polinomiale è la sua base costituita da tutti i monomi. I monomi costituiscono una base perché ogni polinomio può essere scritto univocamente come combinazione lineare finita di monomi…
Radice digitale moltiplicativa
Nella teoria dei numeri, la radice digitale moltiplicativa di un numero naturale in una data base numerica si trova moltiplicando le cifre di insieme, quindi ripetendo questa operazione fino a quando rimane solo una cifra, chiamata radice digitale moltiplicativa di . La radice digitale moltiplicativa per i primi numeri interi positivi è:
Radicale nidificato
In algebra, un radicale nidificato è un’espressione radicale che contiene (nidifica) un’altra espressione radicale. Esempi inclusi…
Operando
In matematica, un operando è l’oggetto di un’operazione matematica, cioè è l’oggetto o la quantità su cui si opera…
Operatore (matematica)
In matematica, un operatore è generalmente una mappatura o una funzione che agisce sugli elementi di uno spazio per produrre elementi di un altro spazio. Non esiste una definizione generale di operatore , ma il termine viene spesso utilizzato al posto di funzione quando il dominio è un insieme di funzioni o altri oggetti strutturati. Inoltre, il dominio di un operatore è spesso difficile da caratterizzare esplicitamente e può essere esteso in modo da agire su oggetti correlati…
Ordine delle operazioni
In matematica e nella programmazione informatica, l’ ordine delle operazioni è un insieme di regole che riflettono le convenzioni su quali operazioni eseguire per prime per valutare una determinata espressione matematica…
Decomposizione parziale della frazione
In algebra, la scomposizione parziale della frazione o l’espansione parziale della frazione di una frazione razionale è un’operazione che consiste nell’esprimere la frazione come somma di un polinomio e di una o più frazioni con denominatore più semplice…
Permanente (matematica)
Nell’algebra lineare, il permanente di una matrice quadrata è una funzione della matrice simile al determinante. Il permanente, così come il determinante, è un polinomio negli elementi della matrice. Entrambi sono casi particolari di una funzione più generale di una matrice chiamata immanante…
Polinomio
In matematica, un polinomio è un’espressione matematica composta da indeterminati e coefficienti, che coinvolge solo le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e potenze intere positive delle variabili. Un esempio di polinomio di un singolo x indeterminato è x 2 − 4 x + 7 . Un esempio con tre indeterminati è x 3 + 2 xyz 2 − yz + 1 .
Mappatura polinomiale
In algebra, una mappa polinomiale o mappatura polinomiale tra spazi vettoriali su un campo infinito k è un polinomio in funzionali lineari con coefficienti in k ; cioè, può essere scritto come
Trasformazione polinomiale
In matematica, una trasformazione polinomiale consiste nel calcolare il polinomio le cui radici sono una data funzione delle radici di un polinomio. Le trasformazioni polinomiali come le trasformazioni di Tschirnhaus vengono spesso utilizzate per semplificare la soluzione delle equazioni algebriche…
Parte primitiva e contenuto
In algebra, il contenuto di un polinomio diverso da zero a coefficienti interi è il massimo comun divisore dei suoi coefficienti. La parte primitiva di un tale polinomio è il quoziente del polinomio per il suo contenuto. Quindi un polinomio è il prodotto della sua parte primitiva e del suo contenuto, e questa fattorizzazione è unica fino alla moltiplicazione del contenuto per un’unità dell’anello dei coefficienti…
Rapporto
In matematica, un rapporto mostra quante volte un numero ne contiene un altro. Ad esempio, se in una ciotola di frutta ci sono otto arance e sei limoni, il rapporto tra arance e limoni sarà otto a sei. Allo stesso modo, il rapporto tra limoni e arance è 6:8 e il rapporto tra arance e quantità totale di frutta è 8:14…
Relazione di ricorrenza
In matematica, una relazione ricorsiva è un’equazione secondo la quale l’ esimo termine di una sequenza di numeri è uguale a una combinazione dei termini precedenti. Spesso nell’equazione compaiono solo i termini precedenti della sequenza, per un parametro indipendente da ; questo numero è chiamato ordine della relazione. Se sono stati forniti i valori dei primi numeri della sequenza, il resto della sequenza può essere calcolato applicando ripetutamente l’equazione…
Catena regolare
In matematica, e più specificamente nell’algebra informatica e nella teoria dell’eliminazione, una catena regolare è un particolare tipo di insieme triangolare di polinomi multivariati su un campo, dove un insieme triangolare è una sequenza finita di polinomi tale che ciascuno contiene almeno un altro polinomio indeterminato rispetto al precedente. La condizione che un insieme triangolare deve soddisfare per essere una catena regolare è che, per ogni k , ogni zero comune (in un campo algebricamente chiuso) dei k primi polinomi può essere prolungato ad uno zero comune dei ( k + 1) th polinomio. In altre parole, le catene regolari consentono di risolvere sistemi di equazioni polinomiali risolvendo equazioni univariate successive senza considerare casi diversi…
Sistema semi-algebrico regolare
Nell’algebra informatica, un sistema semi-algebrico regolare è un particolare tipo di sistema triangolare di polinomi multivariati su un campo reale chiuso…
Cubico risolvente
In algebra, un cubico risolvente è uno dei numerosi polinomi cubici distinti, sebbene correlati, definiti da un polinomio monico di grado quattro:
Espansione in serie
In matematica, uno sviluppo in serie è una tecnica che esprime una funzione come somma infinita, o serie, di funzioni più semplici. È un metodo per calcolare una funzione che non può essere espressa solo da operatori elementari…
Multisezione in serie
In matematica, una multisezione di una serie di potenze è una nuova serie di potenze composta da termini equispaziati estratti inalterati dalla serie originale. Formalmente, se viene data una serie di potenze
Soluzione in radicali
Una soluzione in radicali o soluzione algebrica è un’espressione in forma chiusa, e più specificamente un’espressione algebrica in forma chiusa, cioè la soluzione di un’equazione polinomiale, e si basa solo su addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenze intere, e l’estrazione delle radici n-esime…
Campo sfericamente completo
In matematica, un campo K di valore assoluto si dice sfericamente completo se l’intersezione di ogni sequenza decrescente di palline non è vuota:
Quadrato (algebra)
In matematica il quadrato è il risultato della moltiplicazione di un numero per se stesso. Il verbo “quadrare” viene utilizzato per denotare questa operazione. La quadratura equivale a elevare alla potenza 2, ed è denotata da un apice 2; per esempio, il quadrato di 3 può essere scritto come 3 2 , che è il numero 9. In alcuni casi quando gli apici non sono disponibili, come ad esempio nei linguaggi di programmazione o nei file di testo semplice, le notazioni x^2(accento circonflesso) o x**2possono essere utilizzate in posto di . L’aggettivo che corrisponde alla quadratura è quadratico .x2
Somma di due cubi
In matematica la somma di due cubi è un numero al cubo sommato a un altro numero al cubo…
Sospensione di un anello
In algebra, più specificatamente nella teoria K algebrica, la sospensione di un anello R è data da dov’è l’anello di tutte le matrici infinite con voci in R aventi solo un numero finito di elementi diversi da zero in ciascuna riga o colonna ed è il suo ideale di matrici aventi solo un numero finito di elementi diversi da zero. È un analogo della sospensione in topologia…
Metodo simbolico
In matematica, il metodo simbolico nella teoria degli invarianti è un algoritmo sviluppato da Arthur Cayley, Siegfried Heinrich Aronhold, Alfred Clebsch e Paul Gordan nel XIX secolo per il calcolo degli invarianti delle forme algebriche. Si basa sul trattare la forma come se fosse una potenza di grado uno, il che corrisponde a incorporare una potenza simmetrica di uno spazio vettoriale negli elementi simmetrici di un prodotto tensoriale di copie dello stesso…
Potenza simbolica di un ideale
In algebra e geometria algebrica, dato un anello noetheriano commutativo e un ideale in esso, l’ n -esima potenza simbolica di è l’ideale
Sistema di equazioni polinomiali
Un sistema di equazioni polinomiali è un insieme di equazioni simultanee f 1 = 0, …, f h = 0 dove f i sono polinomi in più variabili, diciamo x 1 , …, x n , su un campo k .
Decomposizione triangolare
In computer algebra, una scomposizione triangolare di un sistema polinomiale S è un insieme di sistemi polinomiali più semplici S 1 , …, S e tale che un punto è una soluzione di S se e solo se è una soluzione di uno dei sistemi S1 , …, S e .
Metodo unitario
Il metodo unitario è una tecnica per risolvere un problema trovando prima il valore di una singola unità, quindi trovando il valore necessario moltiplicando il valore della singola unità…
Variabile (matematica)
In matematica, una variabile è un simbolo che rappresenta un oggetto matematico. Una variabile può rappresentare un numero, un vettore, una matrice, una funzione, l’argomento di una funzione, un insieme o un elemento di un insieme…
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