GF(2) – Wikipedia

fidanzata(2) (indicato anche ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, Z/2Z O ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$) è il campo finito con due elementi.^(1)(UN)

fidanzata(2) è il campo con il minor numero possibile di elementi ed è unico se il identità additiva e il identità moltiplicativa sono indicati rispettivamente 0 E 1come di solito.

Gli elementi di fidanzata(2) può essere identificato con i due possibili valori di a morso e al Valori booleani VERO E falso. Ne consegue che fidanzata(2) è fondamentale e onnipresente in informatica e il suo logico fondazioni.

GF(2) è l’unico campo con due elementi con its additivo E identità moltiplicative rispettivamente indicato 0 E 1.

La sua addizione è definita come la consueta addizione di numeri interi ma modulo 2 e corrisponde alla tabella seguente:

Se gli elementi di GF(2) sono visti come valori booleani, allora l’addizione è identica a quella di XOR logico operazione. Poiché ogni elemento è uguale al suo oppostola sottrazione è quindi la stessa operazione dell’addizione.

La moltiplicazione di GF(2) è ancora la solita moltiplicazione modulo 2 (vedi tabella sotto), e sulle variabili booleane corrisponde alla E logico operazione.

GF(2) può essere identificato con il campo del numeri interi modulo 2cioè il anello del quoziente del anello di numeri interi Z dal ideale 2Z di tutti numeri pari: GF(2) = Z/2Z.

Notazioni Z₂ E ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ possono essere incontrati anche se possono essere confusi con la notazione di 2-adici interi.

Poiché GF(2) è un campo, molte delle proprietà familiari dei sistemi numerici come il numeri razionali E numeri reali vengono conservati:

• l’aggiunta ha un elemento identitario (0) e un inverso per ogni elemento;
• la moltiplicazione ha un elemento identificativo (1) e un inverso per ogni elemento tranne 0;
• addizione e moltiplicazione sono commutativo E associativo;
• la moltiplicazione è distributivo oltre addizione.

Le proprietà che non sono familiari ai numeri reali includono:

• ogni elemento X di GF(2) soddisfa X + X = 0 e quindi −X = X; questo significa che il caratteristica di GF(2) è 2;
• ogni elemento X di GF(2) soddisfa X² = X (cioè è idempotente rispetto alla moltiplicazione); questo è un esempio di Il piccolo teorema di Fermat. GF(2) è il soltanto campo con questa proprietà (Prova: if X² =xallora neanche X = 0 O X ≠ 0. In quest’ultimo caso, X deve avere un moltiplicativo inverso, nel qual caso dividendo entrambi i membri per X dà X = 1. Tutti i campi più grandi contengono elementi diversi da 0 e 1 e tali elementi non possono soddisfare questa proprietà).

A causa delle proprietà algebriche di cui sopra, molti strumenti matematici familiari e potenti funzionano in GF(2) così come in altri campi. Ad esempio, operazioni su matrici, incluso inversione di matricepuò essere applicato a matrici con elementi in GF(2) (Vedere anello della matrice).

Qualunque gruppo (V,+) con la proprietà v + v = 0 per ogni v In V è necessariamente abeliano e può essere trasformato in a spazio vettoriale su GF(2) in modo naturale, definendo 0v = 0 e 1v = v per tutti v In V. Questo spazio vettoriale avrà a baseil che implica che il numero di elementi di V deve essere una potenza di 2 (o infinito).

Nel moderno computeri dati sono rappresentati con stringhe di bit di lunghezza fissa, denominato parole della macchina. Questi sono dotati della struttura di a spazio vettoriale su GF(2). L’addizione di questo spazio vettoriale è il operazione bit per bit chiamato XOR (esclusivo o). IL bit per bit AND è un’altra operazione su questo spazio vettoriale, che lo rende a Algebra booleanauna struttura che sta alla base di tutto informatica. Questi spazi possono anche essere aumentati con un’operazione di moltiplicazione che li trasforma in un campo GF(2^N), ma l’operazione di moltiplicazione non può essere un’operazione bit a bit. Quando N è esso stesso una potenza di due, l’operazione di moltiplicazione può esserlo moltiplicazione del nim; in alternativa, per qualsiasi Nsi può usare la moltiplicazione di polinomi su GF(2) modulo a polinomio irriducibile (come ad esempio per il campo GF(2⁸) nella descrizione del Standard di crittografia avanzato cifra).

Spazi vettoriali E anelli polinomiali su GF(2) sono ampiamente utilizzati in teoria della codificae in particolare in codici di correzione errori e moderno crittografia. Ad esempio, molti codici comuni di correzione degli errori (come Codici BCH) Sono codici lineari su GF(2) (codici definiti da spazi vettoriali su GF(2)), o codici polinomiali (codici definiti come quozienti di anelli polinomiali su GF(2)).

Come ogni campo, GF(2) ha un chiusura algebrica. Questo è un campo F che contiene GF(2) come a sottocampoche è algebrico su GF(2) (cioè ogni elemento di F è una radice di un polinomio a coefficienti in GF(2)), e che è algebricamente chiuso (qualsiasi polinomio non costante con coefficienti in F ha una radice in F). Il campo F è determinato in modo univoco da queste proprietà, fino a UN automorfismo di campo (cioè essenzialmente fino alla notazione dei suoi elementi).

F è numerabile e contiene una singola copia di ciascuno dei campi finiti GF(2^N); la copia di GF(2^N) è contenuto nella copia di GF(2^M) se e solo se N divide M. Il campo F è numerabile ed è l’unione di tutti questi campi finiti.

Conway se ne rese conto F può essere identificato con il numero ordinale ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$dove le operazioni di addizione e moltiplicazione sono definite in modo naturale da induzione transfinita (queste operazioni sono tuttavia diverse dall’addizione e dalla moltiplicazione standard dei numeri ordinali).⁽²⁾ L’aggiunta in questo campo è semplice da eseguire ed è simile a Nim-addizione; Lenstra ha dimostrato che la moltiplicazione può essere eseguita anche in modo efficiente.⁽³⁾