Trairaśika – Wikipedia

Trairaśika è il sanscrito termine usato dagli astronomi e dai matematici indiani dell’era premoderna per denotare ciò che è noto come “regola del tre” nella matematica elementare e nell’algebra. Nella letteratura matematica contemporanea, il termine “regola del tre” si riferisce al principio della moltiplicazione incrociata che afferma che se ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}}$ Poi ${\displaystyle annuncio=bc}$ O ${\displaystyle a={\tfrac {bc}{d}}}$. L’antichità del termine trairaśika è attestata la sua presenza nel Manoscritto Bakhshaliun documento che si ritiene sia stato composto nei primi secoli dell’era volgare.⁽¹⁾

Fondamentalmente trairaśika è una regola che aiuta a risolvere il seguente problema:

“Se ${\displaystyle p}$ produce ${\displaystyle h}$ cosa sarebbe ${\displaystyle i}$ produrre?”⁽¹⁾

Qui ${\displaystyle p}$ è indicato come pramana (“discussione”), ${\displaystyle h}$ COME fala (“frutto”) e ${\displaystyle i}$ COME ichcā (“requisire”). IL pramana E iccha devono essere della stessa denominazione, cioè dello stesso genere o tipo come i pesi, il denaro, il tempo o i numeri degli stessi oggetti. Phala può essere di denominazione diversa. Si presume anche questo fala aumenta in proporzione a pramana. Si chiama l’incognita iccha-phalacioè il fala corrispondente al iccha. Aryabhata fornisce la seguente soluzione al problema:⁽¹⁾

“In trairaśikaIL fala è moltiplicato per ichcā e poi diviso per pramana. Il risultato è iccha-phala.”

Nelle moderne notazioni matematiche, ${\displaystyle {\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}.}$

Le quattro quantità possono essere presentate in fila in questo modo:

pramana | fala | ichcā | iccha-phala (sconosciuto)

Quindi la regola da ottenere iccha-phala può essere affermato così: “Moltiplica i due centrali e dividi per il primo”.

1. Questo esempio è tratto da Bījagaṇitaun trattato di algebra del matematico indiano Bhaskara II (1114–1185 circa).⁽²⁾

Problema: “Se due e mezzo pala-s (unità di peso) di zafferano si ottiene per tre settimi di a nishca (un’unità di denaro); di’ subito, migliore dei mercanti, quanto si ottiene per nove nishca-S?”

Soluzione: pramana = ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ nishca, fala = ${\displaystyle 2{\tfrac {1}{2}}}$ pala-s di zafferano, iccha = ${\displaystyle 9}$ nishca-s e dobbiamo trovare il iccha-phala. ${\displaystyle {\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}={\tfrac {(2{ \tfrac {1}{2}})\times 9}{\tfrac {3}{7}}}=52{\tfrac {1}{2}}}$ pala-s di zafferano.

2. Questo esempio è tratto da Yuktibhasaun’opera sulla matematica e l’astronomia, composta da Jyesthadeva del Scuola di astronomia e matematica del Kerala intorno al 1530.⁽³⁾

Problema: “Quando si sa che 5 misure di risone producono 2 misure di riso, quante misure di riso si otterranno da 12 misure di risone?”

Soluzione: pramana = 5 misure di risone, fala = 2 misure di riso, iccha = 12 misure di riso e dobbiamo trovare il iccha-phala. ${\displaystyle {\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}={\tfrac {2\times 12}{5}}={\tfrac {24}{5}}}$ misure di riso

Le quattro quantità associate trairaśika sono presentati in fila come segue:

pramana | fala | ichcā | iccha-phala (sconosciuto)

In trairaśika si presumeva che il fala aumenta con pramana. Se si presume questo fala diminuisce con l’aumento pramanala regola per trovare iccha-phala è chiamato vyasta-trairaśika (O, viloma-trairaśika) o “regola del tre inversa”.⁽⁴⁾ In vyasta-trairaśika la regola per trovare il iccha-phala può essere formulato come segue assumendo che le relative grandezze siano scritte in fila come sopra indicato.

“Nelle tre quantità conosciute, moltiplica il termine medio per il primo e dividi per l’ultimo.”

Nelle moderne notazioni matematiche abbiamo, ${\displaystyle {\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{pramāṇa}}}{\text{icchā}}}.}$

Questo esempio proviene da Bījagaṇita:⁽²⁾

Problema: “Se una schiava ha sedici anni, portatene trentadue nishca-ss, quanto costerà uno a vent’anni?”

Soluzione: pramana = 16 anni, fala 32 = nishca-S, ichcā = 20 anni. Si presume che fala diminuisce con pramana. Quindi ${\displaystyle {\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{pramāṇa}}}{\text{icchā}}}={\tfrac {32\times 16}{20}}=25{\tfrac {3}{5}}}$ nishca-S.

In trairaśika ce n’è solo uno pramana e il corrispondente fala. Siamo tenuti a trovare il fala corrispondente ad un dato valore di ichcā per il pramana. Le quantità rilevanti possono essere rappresentate anche nella seguente forma:

pramana	ichcā
fala	ichcā-phala

I matematici indiani hanno generalizzato questo problema al caso in cui ce ne sono più di uno pramana. Lascia che ci sia N pramana-S pramana-1, pramana-2, . . ., pramana–N e il corrispondente fala. Lascia che iccha-s corrispondente a pramana-sarà iccha-1, iccha-2, . . ., iccha–N. Il problema è trovare il fala corrispondenti a questi iccha-S. Ciò può essere rappresentato nella seguente forma tabellare:

pramana-1	ichcā-1
pramana-2	ichcā-2
. . .	. . .
pramana–N	ichcāa–N
fala	ichcā-phala

Questo è il problema della proporzione composta. IL ichcā-phala è dato da ${\displaystyle {\text{ ichcā-phala }}={\tfrac {({\text{ ichcā-1 }}\times {\text{ ichcā-2 }}\times \cdots \times {\text{ ichcā- n }})\times {\text{ phala }}}{{\text{ pramāṇa-1 }}\times {\text{ pramāṇa-2 }}\times \cdots \times {\text{ pramāṇa-n }}}}.}$

Dato che ci sono ${\displaystyle 2n+1}$ quantità, il metodo per risolvere il problema può essere chiamato “regola di”. ${\displaystyle 2n+1}$“. Nel suo Băjagaṇita Bhāskara II ha discusso alcuni casi speciali di questo principio generale, come la “regola del cinque” (panjarāśika), “regola del sette” (saptarāśika), “regola del nove” (“navarāśika”) e “regola degli undici” (ekādaśarāśika).

Questo esempio per la regola del nove è tratto da Băjagaṇita:⁽²⁾

Problema: Se trenta panche, spesse dodici dita, larghe quattro quadrati e lunghe quattordici cubiti, costassero cento (nishcas); dimmi, amico mio, che prezzo varranno quattordici panchine, che sono quattro in meno in ogni dimensione?

Soluzione: i dati sono presentati nella seguente forma tabellare:

30	14
12	8
16	12
14	10
100	iccha-phala

iccha-phala = ${\displaystyle {\tfrac {(14\times 8\times 12\times 10)\times 100}{30\times 12\times 16\times 14}}={\tfrac {100}{6}}=16{ \tfrac {2}{3}}}$.

Tutti gli astronomi e matematici indiani hanno posto il trairaśika principio su un piedistallo alto. Ad esempio, Bhaskara II nel suo Lilavati confronta anche il trairaśika a Dio stesso!

“Come l’essere, che solleva dalla sofferenza le menti dei suoi adoratori, e che è l’unica causa della produzione di questo universo, pervade il tutto, e lo fa con le sue varie manifestazioni, come mondi, paradisi, montagne, fiumi, dei , demoni, uomini, alberi” e città; così tutta questa raccolta di istruzioni per i calcoli è pervasa dalla regola dei tre termini.”⁽⁵⁾